Je travaille actuellement sur l'aspect diffusif des équations de réaction-diffusion sur l'espace champ-route ℝN-1×ℝ+ avec N≥2 (introduit par H.Berestycki, J.-M.Roquejoffre et L.Rossi en 2012). Plus précisément, je m'intéresse à la solution (u,v) = ( u(t,x) , v(t,x,y) ) du problème suivant :
partant d'une donnée initiale (u0,v0) = ( u0(x) , v0(x,y) ) bornée et intégrable (une marche par exemple).
On appelle "champ" le domaine ℝN-1×ℝ+ et "route" la frontière du champ, ie. ℝN-1×{0}.
La fonction v représente la densité des individus sur le champ tandis que u représente la densité des individus sur la route.
Les individus diffusent avec un coefficient de diffusion d sur le champ et un coefficient D sur la route avec, typiquement, D>d.
La deuxième ligne du système précédent est appelée condition d'échange. Cette condition de bord de type Robin avec source est au cœur du modèle car elle permet de gérer le comportement des individus arrivant sur le bord du champ (rebond ou extraction vers la route) ainsi que l'immigration depuis la route.
En prenant le système linéaire associé, ie. f≡0, il est possible montrer que la masse d'individus reste préservée dans le temps ; on obtient alors un système purement diffusif.
Sachant que l'action de la diffusion dans l'espace entier ℝN sur une donnée raisonnable (bornée et intégrable) provoque l'extinction de la population par éparpillement des individus (convergente locale uniforme vers 0 lorsque t→+∞), on se demande dans quelle mesure la présence d'une route (ie. un axe de diffusion rapide) peut impacter la vitesse d'extinction de la population.
Les simulations ici basées sur des mouvements individuels à l'échelle microscopique constituent une bonne introduction pour comprendre la dynamique du modèle champ-route.
