Je travaille actuellement sur l'aspect diffusif des équations de réaction-diffusion sur l'espace champ-route ℝN-1×ℝ+ avec N≥2 (introduit par H.Berestycki, J.-M.Roquejoffre et L.Rossi en 2012). Plus précisément, je m'intéresse à la solution (u,v) = ( u(t,x) , v(t,x,y) ) du problème suivant :
partant d'une donnée initiale (u0,v0) = ( u0(x) , v0(x,y) ) bornée et intégrable (une marche par exemple).
On appelle "champ" le domaine ℝN-1×ℝ+ et "route" la frontière du champ, ie. ℝN-1×{0}.
La fonction v représente la densité des individus sur le champ tandis que u représente la densité des individus sur la route.
Les individus diffusent avec un coefficient de diffusion d sur le champ et un coefficient D sur la route avec, typiquement, D>d.
La deuxième ligne du système précédent est appelée condition d'échange. Cette condition de bord de type Robin avec source est au cœur du modèle car elle permet de gérer le comportement des individus arrivant sur le bord du champ (rebond ou extraction vers la route) ainsi que l'immigration depuis la route.
En prenant le système linéaire associé, ie. f≡0, il est possible montrer que la masse d'individus reste préservée dans le temps ; on obtient alors un système purement diffusif.
Sachant que l'action de la diffusion dans l'espace entier ℝN sur une donnée raisonnable (bornée et intégrable) provoque l'extinction de la population par éparpillement des individus (convergente uniforme vers 0 lorsque t→+∞), on se demande dans quelle mesure la présence d'une route (ie. un axe de diffusion rapide) peut impacter la vitesse d'extinction de la population.
Les simulations ici basées sur des mouvements individuels à l'échelle microscopique constituent une bonne introduction pour comprendre la dynamique du modèle champ-route.
Dans cette présentation, nous parlerons de phénomènes d'explosion en temps fini survenant pour certains problèmes de réaction-diffusion sur-linéaires.
Nous commencerons par une introduction aux résultats fondateurs du mathématicien japonais H.Fujita concernant l'équation de la Chaleur altérée par l'ajout de l'inconnue élevée à la puissance 1+p (p>0) dans le second membre. Dans son travail de 1966, Fujita a mis en lumière un exposant critique pour p, marquant le seuil entre l'explosion systématique et la possible existence globale des solutions. Cette distinction est basée sur un rapport d'équilibre entre deux quantités algébriques remarquables associées aux parties réactives (croissance) et diffusives (éparpillement de la masse) de l'équation.
Nous élargirons ensuite notre perspective en introduisant un système « échangeur de chaleur » où les inconnues sont couplées par un mécanisme de diffusion, tout en intégrant des réactions sur-linéaires et non-couplantes telles qu'énoncées précédemment. Une analyse fréquentielle de l'échangeur de chaleur purement diffusif nous permettra d'estimer son « intensité d'éparpillement », ce qui nous amènera aux principaux résultats de l'exposé concernant l'explosion systématique et la possible existence globale des solutions d'un tel système semi-linaire.
Ce travail constitue un premier pas vers l'extension des problèmes de type Fujita aux systèmes couplés par diffusion et soulève plusieurs questions ouvertes, notamment l'exploration de mécanismes diffusifs plus complexes...
In this talk, we examine mathematical models that describe the diffusion and exchange of individuals across spatial domains.
We begin with the field-road model, emphasizing its biological foundations and its importance in understanding fast diffusion channels in population dynamics and ecology. Following this, we explain how to derive the explicit solutions for the field-road model and provide estimates on the asymptotic decay rate of these solutions.
This analytical framework paves the way for exploring non-linear issues, including Fujita-type blow-up phenomena, which we explain by outlining the key concepts involved.
We then turn to the Heat-exchanger model, which serves as a tractable first approach for deriving some coupled-by-diffusion Fujita-type systems. We proceed to characterize the purely diffusive version of this model. With this foundation, we tackle the question of blow-up vs. global existence that arises when incorporating super-linear Fujita-type reaction terms.
The presentation concludes with insights into a stochastic simple exclusion process for the field-road diffusion model. We provide a brief overview of the mechanics of this particle system, drawing parallels with the canonical example of the Heat equation.
We consider the linear field-road system, a model for fast diffusion channels in population dynamics and ecology. This system takes the form of a system of PDEs set on domains of different dimensions, with exchange boundary conditions. Despite the intricate geometry of the problem, we provide an explicit expression for its fundamental solution and for the solution to the associated Cauchy problem. The main tool is a Fourier (on the road variable)/Laplace (on time) transform. In addition, we derive estimates for the decay rate of the L∞ norm of these solutions.
