Autour du modèle champ-route diffusif
Explosion et existence globale pour un système échangeur de chaleur de type Fujita
Au cours de ma thèse je me suis également penché sur l'analyse des phénomènes d'explosion en temps finis de type Fujita
dans les systèmes de réaction-diffusion, en particulier dans un contexte de couplage des inconnues par le mécanime de diffusion.
Pour mettre le problème dans son contexte, en 1966, le mathématicien
H. Fujita
a considéré l'équation semi-linéaire
\( \partial_t u = \Delta u + u^{1+p} \)
dans
\( \mathbb{R}^N \),
pour laquelle il a mis en évidence l'existence d'un exposant critique
\( p_F =2/\! N \)
séparant l'explosion systématique
(\( p < p_F \))
de la possible existence globale
(\( p > p_F \))
des solutions positives.
Ce seuil, identifié à \( 1/\! p = N/\! 2 \), correspond au ratio d'équilibre entre le taux de décroissance algébrique uniforme de l'équation de la Chaleur
\[ \partial_t \mathbf{u} = \Delta \mathbf{u} \]
en
\( \Vert \mathbf{u} (t,\cdot) \Vert_{L^\infty(\mathbb{R}^N)} \sim C/t^{N/\! 2} \),
et le taux d'explosion algébrique de l'EDO sous-jacente
\[ \frac{d}{dt}U = U^{1+p} \]
en
\( U(t) \sim C/(T_{boum}-t)^{1/\! p} \).
Mon travail,
synthétisé dans cet article,
s'est concentré sur le système de type Fujita suivant :
où la constante \( \kappa \) vaut \( 0 \) ou \( 1 \) et joue le rôle d'un bouton on/off sur la seconde non-linéarité.
Ma première contribution a été d'analyser le problème linéaire associé, démontrant que les solutions convergent exponentiellement vite vers celles d'un certain système parabolique découplé.
J'ai ensuite exhibé les exposants critiques \( p \) et \( q \) qui séparent l'explosion systématique de la possible existence globale.
Modéliser le champ-route à partir d’un système de particules stochastique
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